Bài 56 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a)AB = 5cm, CD = 15 cm;

b)AB = 45 dm, CD = 150 cm;

c)AB = 5CD.

Giải

a)AB = 5cm và CD = 15cm =>({{AB} over {CD}} = {5 over {15}} = {1 over 3})

b)AB = 45dm = 450cm và CD = 150 cm

=>({{AB} over {CD}} = {{450} over {150}} = 3)

c)AB = 5CD =>({{AB} over {CD}} = 5)

Bài 57 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.

Giải

+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

+Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC.

=>({{AB} over {AC}} = {{DB} over {DC}}) AB < AC

=>DB < DC => DB + DC < DC + DC

=>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >({{BC} over 2})

Mà (MC = {{BC} over 2}) (M là trung điểm của BC)

=>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1)

+Mặt khác: (widehat {CAH} = {90^0} - hat C) (∆CAH vuông tại H)

(hat A + hat B + hat C = {180^0}) (tổng 3 góc ∆ABC)

=>(widehat {CAH} = {{hat A + hat B + hat C} over 2} - hat C)

=>(widehat {CAH} = {{hat A} over 2} + {{hat B} over 2} - {{hat C} over 2} = {{hat A} over 2} + {{hat B - hat C} over 2})

Vì AB < AC =>(widehat C < widehat B Rightarrow widehat B - widehat C > 0)

Do đó: (widehat {CAH} > {{hat A} over 2}) hay (widehat {CAH} > widehat {CAD})

=>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2)

Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M.

Bài 58 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).

a)Chứng minh BK = CH.

b)Chứng minh KH//BC.

c)Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu c):

-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

Giải

a)Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:

(widehat {KBC} = widehat {HCB}) (∆ABC cân tại A)

BC là cạnh chung

=>∆BKC = ∆CHB

=>BK = CH

b)Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A)

BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH

Do đó : ({{AK} over {AB}} = {{AH} over {AC}}) =>KH // BC (định lí Ta lét đảo)

c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC

=>AM ⊥ BC tại I.

Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì (left{ {matrix{{hat I = hat H = {{90}^0}} cr {hat Cchung} cr} } right.)

=>({{IC} over {HC}} = {{AC} over {BC}}hay{{{a over 2}} over {HC}} = {b over a} = > HC = {{{a^2}} over {2b}})

=>(AH = b - {{{a^2}} over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} over {2b}})

Mà HK // BC => ({{HK} over {BC}} = {{AH} over {AC}} = > HK = {{BC.AH} over {AC}})

=>(HK = {a over b}left( {{{2{b^2} - {a^2}} over {2b}}} right) = {{2a{b^2} - {a^2}} over {2{b^2}}})

Bài 59 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Hình thang ABCD (AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Giải

Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

Ta có: OE = OF (xem cách chứng minh ở bài tập 20)

Do đó: ({{AN} over {EO}} = {{KN} over {KO}}) (AN // EO)

Mà ({{BN} over {OF}} = {{KN} over {KO}}) (BN // OF)

=>({{AN} over {EO}} = {{BN} over {FO}}) Mà OE = OF

=>AN = BN hay N là trung điểm của AB.

Chứng minh tương tự: ({{DM} over {OE}} = {{CM} over {OF}} = > MD = MC)

=>M là trung điểm của CD.

Bài 60 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Cho tam giác vuông ABC, và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC).

a)Tính tỉ số .

b)Cho biết độ dài AB = 12,5 cm, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

Giải

a)Tam giác BCA vuông tại A có nên là một nửa tam giác đều

=>({{AB} over {BC}} = {1 over 2})

Vì BD là đường phân giác của ∆ABC nên: ({{DA} over {DC}} = {{BA} over {BC}})

b)∆ABC vuông tại A nên AC2 = BC2 - AB2, BC = 2AB

=>AC2 = 4AB2 - AB2 = 3AB2

=>AC=(sqrt {3A{B^2}} = ABsqrt 3 = 12,5sqrt 3 approx 21,65left( {cm} right))

Gọi p là chu vi ∆ABC =>p = AB + BC + CA

=>p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5(sqrt 3 )

=>p = 12,5 (3+(sqrt 3 ) approx 59,15left( {cm} right))

Và ({S_{ABC}} = {1 over 2}AB.AC approx 135,31(c{m^2}))

Bài 61 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm.

a)Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên.

b)Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

c)Chứng minh rằng AB // CD.

Giải

a)Vẽ ∆DBC biết BD = 10 cm, BC = 20 cm, DC = 25 cm.

Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính lần lượt là 4 cm và 8 cm. Hai cung này cắt nhau tại A.

Vẽ các đoạn BA, DA được tứ giác ABCD.

b)Ta có: ({{AB} over {BD}} = {4 over {10}} = {2 over 5};{{BD} over {DC}} = {{10} over {25}} = {2 over 5};{{AD} over {BC}} = {8 over {20}} = {2 over 5})

=>({{AB} over {BD}} = {{BD} over {DC}} = {{AD} over {BC}} = > Delta ABDDelta BDC)

c)∆ABD∽ ∆BDC =>(widehat {ABD} = widehat {BDC}) lại so le trong.

=>AB // DC hay ABCD là hình thang.

Giaibaitap.me